Trong
Phép tính biến phân và
cơ học cổ điển, những phương trình Euler-Lagrange
[1] là một hệ thống những
phương trình vi phân thường bậc 2, có nghiệm là những
điểm uốn của
hàm số hành động vật lý cho trước. Những phương trình ấy được khám phá thập niên 1750 bởi nhà toán học Thuỵ Sĩ
Leonhard Euler và nhà toán học Ý
Joseph-Louis Lagrange.bởi vì một hàm số khả vi là điểm uốn tại
điểm cực trị cục bộ của hàm ấy, phương trình Euler-Lagrange sẽ hữu ích cho giải những bài toán
tối ưu mà theo đó, cho trước hàm số nào đó, ta tìm hàm số tối thiểu hoặc tối đa nó. Đây tương tự với
định lý của Fermat trong
vi tích phân, tuyên bố rằng tại bất cứ điểm nào thoả mãn một hàm số khả vi đạt một điểm cực trị cục bộ thì
đạo hàm của nó sẽ bằng không. Trong
cơ học Lagrange, tuân theo
nguyên lý của Hamilton về tác dụng tối thiểu, tiến triển của một hệ vật lý sẽ được miêu tả bởi những nghiệm cho phương trình Euler cho hoạt động của hệ thống. Trong văn cảnh này, những phương trình Euler thường gọi tên là
những phương trình Lagrange. Trong
cơ học cổ điển[2], nó tương đương với
các định luật chuyển động của Newton; đúng là, các phương trình Euler-Lagrange sẽ sản sinh ra cùng những phương trình giống như các định luật của Newton. Đây đặc biệt hữu ích khi phân tích những hệ thống có những vectơ lực đặc biệt phức tạp. Nó có lợi thế vì nó giữ nguyên hình thức trong bất cứ hệ thống
toạ độ suy rộng nào, nó sẽ hợp hơn cho việc khái quát hoá. Trong
lý thuyết trường cổ điển, có một
phương trình tương tự để tính những động lực của một
trường.